复习课教案：基本初等函数小结

基础知识梳理：

一、幂函数

1、定义：形如的函数称为幂函数。其中称为自变量，为常数。

2、幂函数的图像及性质

总结特征：在一象限直线右侧逆时针方向指数越来越大。

二、指数函数

指数与指数幂的运算

1、若，则的________;若，则的________.

若，则的________,用符号_________表示，其中叫做根式。

2、根式的性质：

3、有理数指数幂的运算性质：

4、规定正数的正分数指数幂的意义是：

规定正数的负分数指数幂的意义是：

0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂_______.

5、一般地，无理数指数幂是一个___________.

_____________的运算性质同样适用于无理数指数幂.

指数函数

1、定义：一般地，函数 叫做指数函数，其中是自变量。

2、指数函数的图像与性质

注意：无论在轴的右侧，还是在轴的左侧，底数按逆时针方向依次变大；

在一象限满足底大图高；图像关于轴对称。

三、应用

1、, 

2、比较大小时，找中间值法通常选择0或1这两个数；底数相同的幂式用指数函数的单调性；底数相同的对数式用对数函数的单调性；真数相同的对数式用对数函数的图像；指数相同的幂式用幂函数的单调性或指数函数的图像。

注意：指数函数的单调性取决于底数的大小；因此解题时通常对底数按进行分类讨论。

3、换元时注意换元后“新元”的范围。

4、画指数函数的图像时，应抓住三个关键点

5、指数幂的化简问题中，首先应将根式、分数指数幂统一为，以便利用法则计算。但必须注意运算法则和运算顺序；运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能同时含有分式与负指数幂。

三、对数函数

㈠对数的概念与性质

1、对数的定义及常用对数：一般地，如果 ，那么数________,记做________,其中叫做_________,叫做__________.

2、常用对数是_________记为_________,自然对数是__________记为__________.

3、对数具有以下性质

4、对数的运算性质

5、对数式与指数式

1、对数函数的定义：一般地，我们把函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域为

2、对数函数的图像与性质

注意：对数函数与同底的指数函数互为反函数，互为反函数的两个函数图像关于直线对称，单调性相同。

对数函数图像在一象限与直线的交点分别为，，…，从左往右，底数的值越来越大。

规律方法：

1、在对数运算中，先利用幂的运算性质吧底数或真数进行变形，转化成分数指数幂的形式，使得幂的底数最简，然后用对数的运算法则化简合并。

2、先将对数式转化为同底数的对数的和、差、背书运算，然后运用对数运算法则，转化为同底数对数的积、商、幂的运算。

3、是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意相互转化。

4、

5、对一些可通过平移、对称变换能做出其图像的对数型函数，在求解其单调性、单调区间、值域、零点时，常用数形结合求解

6、利用对数函数的性质研究对数型函数的性质时，要注意以下几点：

定义域；

底数与1的大小关系；

如果需要将函数解析式变形，要确保其等价性；

注意复合函数由哪些基本初等函数复合而成。

7、对数值的大小比较法：转化为同底之后用函数的单调性；

做差或做商；  利用中间值0或1；    化为同真数后利用图像比较。

8、多个对数函数图像比较底数大小的问题，可利用图像与直线交点的横坐标的大小进行判定。

典型例题：

1、设，，，则

、      、  、  、 

2、已知函数，且，则

、        、       、      、 

3、已知，，，则

、    、  、  、 

4、已知，，，则

、     、  、  、 

5、用表示三个数中的最小值。设，，则的最大值为

、4            、5          、6        、7 

6、当时，，则的取值范围是

、    、       、       、

7、设，已知，则

、  、 、  、 

8、已知函数，若互不相等且，则的取值范围是__________。