2021-2022年九年级中考模拟考试

数 学  试  题

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多错选，均不给分）

1. ﹣2的相反数是（　　）

A．﹣2B．2C．﹣D．

2我国开展了第七次全国人口普查，据国家统计局数据公布全国人口总量约为共1400000000人，数据1400000000用科学记数法表示为（　　）

A．14×108B．1.4×109C．1.4×1010D．0.14×1011

3由4个相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（　　）

A．B．

C．D．

4下列计算正确的是（　　）

A．2x﹣x＝2B．x6÷x2＝x3

C．（x+y）2＝x2+y2D．（﹣xy3）2＝x2y6

5每年的6月5日为世界环境保护日，为提高学生环境保护意识，某校对100名学生进行“保护环境知多少”测试，抽取部分统计如下表：

本次测验成绩的众数为（　　）

A．80分B．85分C．90分D．100分

6若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是（　　）

A．k＜1B．k＞1C．k＞0D．k＜0

7如图，直线AB与⊙O相切于点C，AO交⊙O于点D，连接CD，OC．若∠AOC＝50°，则∠ACD的度数为（　　）

A．20°B．25°C．30°D．35°

8《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　）

A．B．

C．D．

9已知二次函数y＝x2﹣6x+8，当0＜x≤m时，﹣1≤y≤8，则m的值是（　　）

A．3B．4C．6D．7

10三个大小相同的等边三角形△ABC，△CDE，△GCF按如图所示方式摆放，点A，C，E在同一直线上，且点D，C，G在同一直线上，H为DE中点，以HB、HF为邻边作▱BHFI，交AE于点M，N，若MN为8，则图中阴影部分的面积和为（　　）

A．B．C．18D．36

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

11分解因式：x2﹣6x＝　 　．

12一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的1个红球，2个绿球和3个白球，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球恰好是一个红球概率为 　　．

13不等式1﹣2x≥5的解集为 　　．

14已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是　 　．

15某校购买了一套乒乓球桌和自动发球机，侧面如图1所示，球台长度AB＝274cm，发球机紧贴球台端线点A处，高出球台的部分AC＝12cm，出球管道CD＝5cm，若将水平状态的CD绕点C逆时针旋转45°到CD的位置，发球机模式为“一跳球”，路线呈抛物线，离球台正中间的球网GH左侧72cm处到达最高点高出台面21cm，则EB＝　　cm．

16矩形ABCD的面积记为S1、正方形DEFG的面积记为S2、正方形FHMN的面积记为S3，它们的位置如图所示，点C在FH上，FG交CD于点P，延长DE交AB于点K，AD＝2AK＝6，点B，C，M在同一直线上，则＝　　；若S1+S2＝S3，射线EP交HM于点Q，则QM的长为 　　．

三、解答题（本题有8小题。共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）

17（1）计算：﹣（）﹣1+|﹣5|．

（2）化简：﹣．

18已知：如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED．

（1）求证：△ABC≌△AED．

（2）当AC∥DE，∠ADE＝40°时，求∠ACD的度数．

19某商家对A、B两款学生手表的销售情况进行了为期五个月的调查统计，期间两款手表的月销售量统计图如图所示．

（1）请求出A款学生手表这五个月的总销售量以及B款学生手表4月﹣5月的销售量增长率；

（2）参考这五个月的销售情况，请对这两款手表未来的进货、销售方面提出你的建议．

20在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的平行四边形为整点平行四边形．如图，已知整点A（2，5），B（3，2），请在所给网格区域内按要求画以A，B，C，D为顶点的整点平行四边形．

（1）在图1中画出点C，D，使点C的横、纵坐标之和等于点D的横、纵坐标之和的3倍；

（2）在图2中画出点C，D，使点C的横、纵坐标之积等于点D的横、纵坐标之积的2倍．

21如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b＞0），交x轴于点A、B，交y轴于点C，已知A的横坐标为﹣1．

（1）求点B的坐标．（用含b的代数式表示）

（2）抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，平移线段CB，使点C与D重合，此时点B恰好落在抛物线上，求b的值．

22如图，AC是⊙O的直径，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E在上，DE⊥BC于点F，DE交AC于点G，且∠CDF＝∠ACB．

（1）求证：四边形ABEG是平行四边形．

（2）若AC＝25，CD＝24，求EG的长．

23某厂家生产甲，乙两款机器人，为测试机器人性能，两机器人在同一起点出发，沿直线跑道上匀速行走，两款机器人上都有实时统计步数的显示器（机器人每走1步，显示器上步数累计加1）．已知甲，乙机器人的步距分别为0.4m，0.5m（步距是指每一步的距离），运动过程中的时刻和步数如下：

已知当9：05时，乙比甲多走了5m．

（1）求表中a的值．

（2）9：05后，甲机器人按原速度继续沿直线行走，乙机器人再行走t分钟后（t为整数）往回走（转身时间忽略不计），相遇时两机器人同时停止行走．

①现计划乙机器人往回走的路程不超过10m，求t的最大值．

②为保证9：11时两机器人恰好相遇，将乙每分钟步数增加m步，求相遇时乙机器人显示器上显示的步数．

24如图，已知E为正方形ABCD的边AD上一点，连结CE，点B关于CE的对称点为B'连结B'D，并延长B'D交BA的延长线于点F，延长CE交B′F于点G，连结BG．

（1）求证：∠CBG＝∠CDB′．

（2）若AE＝2DE，BC＝6，求BG的长．

（3）在（2）的条件下，H为直线BG上一点，过点H作CG的平行线l．当直线l恰好经过△ADF的顶点时，求BH的长．

2021年浙江省温州市鹿城区中考数学二调试卷

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多错选，均不给分）

1. ﹣2的相反数是（　　）

A．﹣2B．2C．﹣D．

【考点】相反数．

【答案】B

【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．

【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，

故选：B．

2我国开展了第七次全国人口普查，据国家统计局数据公布全国人口总量约为共1400000000人，数据1400000000用科学记数法表示为（　　）

A．14×108B．1.4×109C．1.4×1010D．0.14×1011

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【专题】实数；数感．

【答案】B

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，，且n比原来的整数位数少1．

【解答】解：1400000000＝1.4×109．

故选：B．

3由4个相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（　　）

A．B．

C．D．

【考点】简单组合体的三视图．

【专题】投影与视图；空间观念．

【答案】A

【分析】根据简单组合体三视图的画法，画出其主视图即可．

【解答】解：该组合体的主视图如下：

故选：A．

4下列计算正确的是（　　）

A．2x﹣x＝2B．x6÷x2＝x3

C．（x+y）2＝x2+y2D．（﹣xy3）2＝x2y6

【考点】合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；完全平方公式．

【专题】整式；运算能力．

【答案】D

【分析】根据合并同类项法则判断A，根据同底数幂的除法的运算法则判断B，根据完全平方公式判断C，根据积的乘方的运算法则判断D．

【解答】解：A、2x﹣x＝x，原计算错误，故此选项不符合题意；

B、x6÷x2＝x4，原计算错误，故此选项不符合题意；

C、（x+y）2＝x2+2xy+y2，原计算错误，故此选项不符合题意；

D、（﹣xy3）2＝x2y6，原计算正确，故此选项符合题意．

故选：D．

5每年的6月5日为世界环境保护日，为提高学生环境保护意识，某校对100名学生进行“保护环境知多少”测试，抽取部分统计如下表：

本次测验成绩的众数为（　　）

A．80分B．85分C．90分D．100分

【考点】众数．

【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．

【答案】C

【分析】根据众数的定义，出现次数最多的数为众数．

【解答】解：这组数据中90出现次数最多，

所以这组数据的众数为90，

故选：C．

6若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是（　　）

A．k＜1B．k＞1C．k＞0D．k＜0

【考点】反比例函数的性质．

【答案】A

【分析】由反比例函数所在的象限可得到关于k的不等式，可求得答案．

【解答】解：

∵反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，

∴k﹣1＜0，解得k＜1，

故选：A．

7如图，直线AB与⊙O相切于点C，AO交⊙O于点D，连接CD，OC．若∠AOC＝50°，则∠ACD的度数为（　　）

A．20°B．25°C．30°D．35°

【考点】垂径定理；圆周角定理；切线的性质．

【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．

【答案】B

【分析】先根据切线的性质得到∠OCA＝90°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠OCD＝65°，然后计算∠OCA﹣∠OCD即可．

【解答】解：∵直线AB与⊙O相切于点C，

∴OC⊥AB，

∴∠OCA＝90°，

∵OC＝OD，

∴∠OCD＝∠ODC＝（180°﹣∠COD）＝×（180°﹣50°）＝65°，

∴∠ACD＝∠OCA﹣∠OCD＝90°﹣65°＝25°．

故选：B．

8《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　）

A．B．

C．D．

【考点】由实际问题抽象出分式方程．

【专题】分式方程及应用；应用意识．

【答案】A

【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得等量关系：慢马速度×2＝快马速度，根据等量关系，可得方程．

【解答】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得：

×2＝，

故选：A．

9已知二次函数y＝x2﹣6x+8，当0＜x≤m时，﹣1≤y≤8，则m的值是（　　）

A．3B．4C．6D．7

【考点】二次函数的性质．

【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．

【答案】C

【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，再根据当0＜x≤m时，﹣1≤y≤8和二次函数具有对称性，可以得到m的值．

【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，

∴该函数的对称轴是直线x＝3，函数图象开口向上，当x＝3时取得最小值﹣1，

∵当0＜x≤m时，﹣1≤y≤8，当x＝0时，y＝8，当x＝6时，y＝8，

∴m＝6，

故选：C．

10三个大小相同的等边三角形△ABC，△CDE，△GCF按如图所示方式摆放，点A，C，E在同一直线上，且点D，C，G在同一直线上，H为DE中点，以HB、HF为邻边作▱BHFI，交AE于点M，N，若MN为8，则图中阴影部分的面积和为（　　）

A．B．C．18D．36

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质．

【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．

【答案】A

【分析】如图，连接IC，过点M作MR⊥BF于R．设BC＝CF＝m．想办法求出BF，IC，根据阴影部分的面积＝△IBF的面积，求解即可．

【解答】解：如图，连接IC，CH，过点M作MR⊥BF于R．设BC＝CF＝m．

∵等边三角形△ABC，△CDE，△GCF全等，点A，C，E在同一直线上，且点D，C，G在同一直线上，

∴∠FCE＝∠CED＝60°，

∴DE∥BF，

∵CD＝CE，DH＝HE，

∴CH⊥DE，

∴CH⊥BF，

∵BC＝CF，

∴HB＝HF，

∵四边形BHFI是平行四边形，

∴四边形BHFI是菱形，

∴IB＝IF，

∵BC＝CF，

∴IC⊥BF，

∵IC＝m，

∴tan∠IBC＝＝，

∵CM＝CN＝4，∠RMC＝90°，∠MCR＝60°，

∴RC＝CM＝2，RM＝CR＝2，

∵＝，

∴BR＝4，

∴BC＝CF＝6，CI＝3，

由对称性可知，阴影部分的面积＝△IBF的面积＝•BF•IC＝×12×3＝18，

故选：A．

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

11分解因式：x2﹣6x＝　 　．

【考点】因式分解﹣提公因式法．

【答案】见试题解答内容

【分析】首先找出公因式，进而提取公因式得出答案．

【解答】解：x2﹣6x＝x（x﹣6）．

故答案为：x（x﹣6）．

12一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的1个红球，2个绿球和3个白球，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球恰好是一个红球概率为 　　．

【考点】概率公式．

【专题】概率及其应用；数据分析观念．

【答案】．

【分析】用红色球的个数除以球的总个数即可．

【解答】解：∵袋子中共有1+2+3＝6个除颜色外其它都相同的球，其中红球有1个，

∴从袋子中随机摸出一个小球，摸出的球是红球的概率是，

故答案为：．

13不等式1﹣2x≥5的解集为 　　．

【考点】解一元一次不等式．

【专题】一元一次不等式(组)及应用；运算能力．

【答案】x≤﹣2．

【分析】移项、合并同类项，系数化成1即可求解．

【解答】解：移项得﹣2x≥5﹣1，

合并同类项得﹣2x≥4，

系数化为1得x≤﹣2，

故答案为：x≤﹣2．

14已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是　 　．

【考点】圆锥的计算．

【专题】计算题．

【答案】见试题解答内容

【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．

【解答】解：这个圆锥的侧面积＝•2π•4•5＝20π（cm2）．

故答案为20πcm2．

15某校购买了一套乒乓球桌和自动发球机，侧面如图1所示，球台长度AB＝274cm，发球机紧贴球台端线点A处，高出球台的部分AC＝12cm，出球管道CD＝5cm，若将水平状态的CD绕点C逆时针旋转45°到CD的位置，发球机模式为“一跳球”，路线呈抛物线，离球台正中间的球网GH左侧72cm处到达最高点高出台面21cm，则EB＝　　cm．

【考点】二次函数的应用．

【专题】二次函数的应用；应用意识．

【答案】（209﹣30）．

【分析】以AC为y轴，以AB为x轴，A为原点建立平面直角坐标系，设抛物线最高点为N，对称轴MN与x轴交于M，则MN＝21，根据题意写出抛物线解析式y＝a（x﹣65）2+21（a＜0），然后通过旋转求出D′坐标，再把D′坐标代入抛物线求出a，再令y＝0解一元二次方程求出E对岸坐标即可．

【解答】解：以AC为y轴，以AB为x轴，A为原点建立平面直角坐标系，如图，

设抛物线最高点为N，对称轴MN与x轴交于M，则MN＝21，

∴AB＝274cm，

∵GH是AB正中间，

∴AH＝AB＝137cm，

∴AM＝AH﹣MH＝137﹣72＝65cm，

设抛物线为：y＝a（x﹣65）2+21（a＜0），

过D′作D′P⊥x轴交CD于点Q，交x轴于点P，

则∠CQD′＝∠APQ＝90°，

∵旋转45°，

∴CD′＝CD＝5cm，

CQ＝D′Q＝CD′cos∠D′CD＝5cm，

∴D′P＝D′Q+PQ＝5+12＝17cm，

∴D′（5，17）代入抛物线得：

a×（5﹣65）2+21＝17，

∴a＝﹣，

∴y＝﹣（x﹣65）2+21，

令y＝0，则﹣（x﹣65）2+21＝0，

解得：x1＝65+30，x2＝65﹣30（舍去），

∴E（65+30，0），

∴EB＝AB﹣AE＝274﹣（65+30）＝（209﹣30）（cm），

故答案为：（209﹣30）．

16矩形ABCD的面积记为S1、正方形DEFG的面积记为S2、正方形FHMN的面积记为S3，它们的位置如图所示，点C在FH上，FG交CD于点P，延长DE交AB于点K，AD＝2AK＝6，点B，C，M在同一直线上，则＝　　；若S1+S2＝S3，射线EP交HM于点Q，则QM的长为 　　．

【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质．

【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．

【答案】；．

【分析】先推出∠ADK＝∠GDP，可得＝＝，再证明△DPG≌△CPF，进而证明＝＝，HF＝2CF＝2DG，即可得＝；设DE＝x，则EC＝FH＝HM＝2x，DC＝＝＝x，列出方程，求出x的值，再证明＝＝，进而可求出QM的长．

【解答】解：如图，连结CM，

在矩形ABCD、正方形DEFG中，∠ADC＝∠EDG＝90°，

∴∠ADC﹣∠EDP＝∠EDG﹣∠EDP，

即∠ADK＝∠GDP，

∴tan∠ADK＝tan∠GDP，

∵AD＝2AK，

即＝＝，

∴PG＝DG＝FG，

∴PG＝FP，

在△DPG和△CPF中，

，

∴△DPG≌△CPF（ASA），

∴DG＝CF，

∴DE＝DG＝EF＝CF，

即CE＝2DE，

∵点B，C，M在同一直线上，

∴∠DCM＝180°﹣90°＝90°，

∴∠DCE+∠MCH＝∠MCH+∠CHM＝90°，

∴∠DCE＝∠CMH，

∴tan∠DCE＝tan∠CMH，

∴＝＝，

∴HM＝HF＝2CH，

∴HF＝2CF＝2DG，

∴＝＝，

设DE＝x，则EC＝FH＝HM＝2x，

∴DC＝＝＝x，

∴FH＝HM＝4，

∵S1+S2＝S3，AD＝6，

∴6×x+x2＝（2x）2，

解得，x＝2或x＝0（舍去），

∴EH＝EF+FH＝x+2x＝3x＝6，

∵PF垂直平分EC，

∴PE＝PC，

∴∠PEC＝∠PCE＝∠PDG＝∠ADK，

∴tan∠PEC＝tan∠ADK，

即＝＝，

∴QH＝EH＝3，

∴QM＝HM﹣QH＝4﹣3＝．

故答案为：；．

三、解答题（本题有8小题。共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）

17（1）计算：﹣（）﹣1+|﹣5|．

（2）化简：﹣．

【考点】实数的运算；分式的加减法；负整数指数幂．

【专题】实数；分式；运算能力．

【答案】（1）2+3；

（2）．

【分析】（1）原式利用二次根式性质，负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值；

（2）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．

【解答】解：（1）原式＝2﹣2+5

＝2+3；

（2）原式＝﹣

＝

＝

＝．

18已知：如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED．

（1）求证：△ABC≌△AED．

（2）当AC∥DE，∠ADE＝40°时，求∠ACD的度数．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题；图形的全等；推理能力．

【答案】（1）证明过程见解答；

（2）70°．

【分析】（1）利用SAS即可证明结论；

（2）结合（1）可得AC＝AD，根据等腰三角形的性质即可求出∠ACD的度数．

【解答】（1）证明：在△ABC和△AED中，

，

∴△ABC≌△AED（SAS）；

（2）解：∵AC∥DE，∠ADE＝40°，

∴∠CAD＝∠ADE＝40°，

∵△ABC≌△AED，

∴AC＝AD，

∴．

19某商家对A、B两款学生手表的销售情况进行了为期五个月的调查统计，期间两款手表的月销售量统计图如图所示．

（1）请求出A款学生手表这五个月的总销售量以及B款学生手表4月﹣5月的销售量增长率；

（2）参考这五个月的销售情况，请对这两款手表未来的进货、销售方面提出你的建议．

【考点】折线统计图．

【专题】统计的应用；应用意识．

【答案】（1）A款手表这五个月的总销售量为290只，B款4月﹣5月的销售量增长率为20%；（2）见解析．

【分析】（1）根据统计图中的数据把A款学生手表这五个月的销售量相加得A款学生手表这五个月的总销售量，根据B款学生手表4月、5月的销售量可得增长率；

（2）根据折线统计图所给出的数据，提出合理的建议即可．

【解答】解：（1）A款手表这五个月的总销售量：70+65+58+55+42＝290（只），

B款4月﹣5月的销售量增长率：；

（2）答案不唯一．从销售量来看，B款手表销售量逐月上升，5月份超过了A款手表销售量，建议多进B款手表，少进或不进A款手表；从总销售量来看，由于A款手表逐月减少，导致总销售量减少，建议采取一些促销手段，增加A款手表的销售量．

20在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的平行四边形为整点平行四边形．如图，已知整点A（2，5），B（3，2），请在所给网格区域内按要求画以A，B，C，D为顶点的整点平行四边形．

（1）在图1中画出点C，D，使点C的横、纵坐标之和等于点D的横、纵坐标之和的3倍；

（2）在图2中画出点C，D，使点C的横、纵坐标之积等于点D的横、纵坐标之积的2倍．

【考点】坐标与图形性质；平行四边形的性质；作图—复杂作图．

【专题】作图题；几何直观．

【答案】（1）（2）作图见解析部分．

【分析】（1）利用数形结合的思想以及题目要求作出图形即可．

（2）利用数形结合的思想以及题目要求作出图形即可．

【解答】解：（1）如图，四边形ACBD即为所求．

（2）如图，四边形ACBD即为所求．

21如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b＞0），交x轴于点A、B，交y轴于点C，已知A的横坐标为﹣1．

（1）求点B的坐标．（用含b的代数式表示）

（2）抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，平移线段CB，使点C与D重合，此时点B恰好落在抛物线上，求b的值．

【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；坐标与图形变化﹣平移．

【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．

【答案】（1）（b+1，0）．

（2）．

【分析】（1）先求出图象对称轴为直线x＝，再通过点A坐标（﹣1，0）求出点B坐标．

（2）先求出点D坐标，然后由平移线段CB，使点C与D重合得出点B坐标，将点B坐标代入解析式求解．

【解答】（1）∵y＝﹣x2+bx+c，

∴对称轴为直线，

∴，

∵A点横坐标为﹣1，

∴B（b+1，0）．

（2）对称轴直线x＝与x轴交点为（，0），

把A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，

得：﹣1﹣b+c＝0，即c＝b+1，

∵平移线段CB，使C与D重合点，

∴B平移后得点，

∵点B在抛物线上，

∴，

解得，

∵b＞0，

∴．

22如图，AC是⊙O的直径，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E在上，DE⊥BC于点F，DE交AC于点G，且∠CDF＝∠ACB．

（1）求证：四边形ABEG是平行四边形．

（2）若AC＝25，CD＝24，求EG的长．

【考点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质．

【专题】综合题；数形结合；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；圆的有关概念及性质；几何直观．

【答案】（1）见解答过程．

（2）15．

【分析】（1）直径所对的圆周角是直角，可得DE∥AB，通过角度转化可得∠CGE＝∠BEG，可得AC∥BE，平行四边形可证．

（2）AC为直径，△ADC是直角三角形，勾股定理可得AC，求得∠ACB正切值，可求AB，继而可求EG．

【解答】解（1）证明：∵AC为直径，

∴∠ABC＝90°，

∵CD⊥BC，

∴EG∥AB．

∵∠CDF＝∠ACB，

∴∠FGC＝∠DCF，

∵∠DCF＝∠DEB，

∴∠DEB＝∠FGC，

∴AG∥BE

∴四边形ABEG是平行四边形．

（2）解：如图，

，

在Rt△ADC中，AC＝25，CD＝24，

∴AD＝＝7，

∵四边形ABEG是平行四边形，

∴∠AGD＝∠BED，DE∥AB，AD＝BE，AB＝EG，

∴∠AGE＝∠BED，

∴∠ADG＝∠AGD．

∴AD＝AG＝BE＝7，

∵∠CDF＝∠ACB，∠CFD＝∠CFD，

∴△CDF∽△GCF，

∴，

∵DE∥AB，

∴△CGF∽△CAB，

∴＝，

在Rt△ABC中，设AB＝3a，则BC＝4a，

∴（3a）2+（4a）2＝252，

解得a＝5，

∴AB＝15

∴EG＝15．

23某厂家生产甲，乙两款机器人，为测试机器人性能，两机器人在同一起点出发，沿直线跑道上匀速行走，两款机器人上都有实时统计步数的显示器（机器人每走1步，显示器上步数累计加1）．已知甲，乙机器人的步距分别为0.4m，0.5m（步距是指每一步的距离），运动过程中的时刻和步数如下：

已知当9：05时，乙比甲多走了5m．

（1）求表中a的值．

（2）9：05后，甲机器人按原速度继续沿直线行走，乙机器人再行走t分钟后（t为整数）往回走（转身时间忽略不计），相遇时两机器人同时停止行走．

①现计划乙机器人往回走的路程不超过10m，求t的最大值．

②为保证9：11时两机器人恰好相遇，将乙每分钟步数增加m步，求相遇时乙机器人显示器上显示的步数．

【考点】列代数式；一元一次方程的应用．

【专题】行程问题；一次方程（组）及应用；模型思想．

【答案】（1）470；

（2）14；

（3）1304步．

【分析】（1）根据表格表示出甲机器人走了（a﹣170）步，乙机器人走了（a﹣220）步，根据“当9：05时，乙比甲多走了5m．”列出方程即可求解；

（2）①设乙往回走x米，甲，乙各走了（+t）分钟，则甲要走24（+t）米，乙往前走了25t米，根据乙机器人往回走的路程不超过10m，求出t的最大值；

②设乙往回走了（6﹣t）分钟，根据相遇列出方程，根据m和t都是整数求解．

【解答】解：（1）由题意得，甲机器人走了（a﹣170）步，乙机器人走了（a﹣220）步，

∴0.4（a﹣170）+5＝0.5（a﹣220），解得a＝470；

（2）由（1）得，甲每分钟走60×0.4＝24米，乙每分钟走50×0.5＝25米，

设乙往回走x米，甲，乙各走了（+t）分钟，则甲要走24（+t）米，乙往前走了25t米，

∴24（+t）﹣5+x＝25t，

即t＝x﹣5，

∵x≤10，

∴t≤14.6，

∴t最大为14；

（3）设乙往回走了（6﹣t）分钟，

∴6×24﹣5+0.5（50+m）（6﹣t）＝（50+m）×0.5t，

即m＝＝﹣50+，

∵m和t是整数，

∴t＝4，m＝89，

∴6×（50+89）+470＝1304（步）．

24如图，已知E为正方形ABCD的边AD上一点，连结CE，点B关于CE的对称点为B'连结B'D，并延长B'D交BA的延长线于点F，延长CE交B′F于点G，连结BG．

（1）求证：∠CBG＝∠CDB′．

（2）若AE＝2DE，BC＝6，求BG的长．

（3）在（2）的条件下，H为直线BG上一点，过点H作CG的平行线l．当直线l恰好经过△ADF的顶点时，求BH的长．

【考点】四边形综合题．

【专题】几何综合题；推理能力．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据对称性以及等腰三角形的性质只能即可．

（2）如图1中，连结BB'交CG于点M，证明BG＝BM，即可解决问题．

（3）直线l经过△ADF三个顶点时，有三种情况：①如图2，直线l经过点A时，交BB'于点N，交BC于点K，②如图3，当直线l经过点D时，过点G作AD的平行线交l于点P，则四边形EDPG是平行四边形，③如图3，当直线l经过点F时，过点C作CQ⊥BG于点Q，分别求解，可得结论．

【解答】（1）证明：如图1中，

∵点B与B'关于CG对称，

∴∠CBG＝∠B'，B'C＝BC，

∴B'C＝CD，

∴∠B'＝∠CDB'，

∴∠CBG＝∠CDB'．

（2）解：如图1中，连结BB'交CG于点M，

∵∠CDG+∠CDB'＝180°，

∴∠CDG+∠CBG＝180°，

∴∠BCD+∠BGB'＝180°，

∵∠BCD＝90°，

∴∠BGB'＝90°，

∵BG＝B'G，

∴，

∵∠DCE+∠MCB＝∠MCB+∠MBC，

∴∠ECD＝∠CBM，

∴，

∴，

∴BG＝BM＝．

（3）解：在Rt△CBM中，CM＝＝＝，

∴，

直线l经过△ADF三个顶点时，有三种情况：

①如图2，直线l经过点A时，交BB'于点N，交BC于点K，

∵AK∥EC，AE∥CK，

∴四边形AECK是平行四边形，

∴AE＝CK，

∵AD＝BC，

∴DE＝BK，

∵∠ABK＝∠CDE＝90°，AB＝CD，

∴△ABK≌△CDE（SAS），

∴BK＝DE，

∵，

∴．

②如图3，当直线l经过点D时，过点G作AD的平行线交l于点P，则四边形EDPG是平行四边形，

∴PG＝DE＝2，由△GPH∽△BCG，可得，

∴，

∴．

③如图3，当直线l经过点F时，过点C作CQ⊥BG于点Q，

∵，

∴，

∴，

∴．

综上所述，或或．