预览

20191122手动选题组卷

副标题

题号	一	二	三	总分
得分

一、选择题（本大题共27小题，共81.0分）

下列说法正确的个数是
三角形的三条高所在直线交于一点；
一个角的补角比这个角的余角大 $90^{\small \circ}$ ；
垂直于同一条直线的两条直线互相垂直；
两直线相交,同位角相等；
面积相等的两个正方形是全等图形；
已知两边及一角不能唯一作出三角形．

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

【答案】D

【解析】【分析】
本题考查的知识点较多：三角形的高线、余角和补角的定义、平行线的性质、正方形的面积、同位角的定义以及尺规作图,但难度不大,属于直接运用,熟练掌握这些定义和性质是关键．
三角形的三条高交于同一点,锐角三角形交在内部,钝角三角形交在外部,直角三角形交在直角顶点上；
设这个角为,分别表示出其补角和余角,计算其差即可；
垂直于同一条直线,同位角是直角,又同位角相等,所以两条直线互相平行；
两直线平行,同位角相等,两直线相交,不能构成同位角；
根据正方形的面积得出结论；
通过画图说明．
【解答】

解：三角形的三条高交于同一点,所以此选项说法正确；
设这个角为,则这个角的补角表示为 $180^{\small \circ}-α$ ,这个角的余角表示为 $90^{\small \circ}-α$ ,
$(180^{\small \circ}-α)-(90^{\small \circ}-α)=90^{\small \circ}$ ,
一个角的补角比这个角的余角大 $90^{\small \circ}$ ；
所以此选项说法正确；
垂直于同一条直线的两条直线互相平行,所以此选项说法错误；
两直线平行,同位角相等,所以此选项说法错误；
因为正方形的面积是边长的平方,所以面积相等的两个正方形边长相等,且四个角又是直角,所以是全等图形,
所以此选项说法正确；
如下图,已知,,,所以和满足两边及一角对应相等,但两三角形明显不全等,即不能唯一作出三角形．

所以此选项说法正确；
所以此题说法正确的有：,一共4个,
故选D．

在同一平面内,线段,线段,则线段BC的取值范围是( )

A. B. C. 或10D.

【答案】D

【解析】解：根据三角形的三边关系,得
,
则．
当三点在同一直线上时,或10
故选：D．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,进行分析求解．
此题主要考查了三角形的三边关系,注意理解如何根据已知的两条边求第三边的范围．

已知三角形ABC是等边三角形,D是BC边上的中点,其中点E、F分别如图中说明,则下列图形中、、、四个区域面积相等的是( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】解：A、根据D、E分别为各边的中点,可得AD是的中线,BE、CE分别是和的中线,故、、、四个区域面积相等；
B、根据,,可得DE、DF不是中线,故不能得出、、、四个区域面积相等；
C、根据AE平分,AF平分,可得AE,AD,AF不是中线,故不能得出、、、四个区域面积相等；
D、根据AE平分,可得AE不是的中线,故不能得出、、、四个区域面积全相等；
故选：A．
三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,据此进行判断即可．
本题主要考查了等边三角形的性质以及三角形的面积的运用,解题时注意：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．

将长为15 cm的木棒截成长度为整数的三段,使它们构成一个三角形的三边,则不同的截法有

A. 5种B. 6种C. 7种D. 8种

【答案】C

【解析】【分析】
此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力,注意不能构成三角形的情况一定要排除,已知三角形的周长,分别假设三角形的最长边,从而利用三角形三边关系进行验证即可求得不同的截法．
【解答】
解：长棒的长度为15cm,
即三角形的周长为15cm
当三角形的最长边为7时,有4种截法,
分别是：7,7,1；7,6,2；7,5,3；7,4,4；
当三角形的最长边为6时,有2种截法,分别是：6,6,3；6,5,4；
当三角形的最长边为5时,有1种截法,是：5,5,5；
当三角形的最长边为4时,有1种截法,是4,3,8,
因为,所以此截法不可行；
不同的截法有：种．
故选C．

一个等腰三角形的两边长分别为3和,那么这个三角形的周长为

A. B.
C. 或D. 或

【答案】B

【解析】【分析】
此题考查了三角形三边关系,等腰三角形的性质,分类讨论思想,解决本题的关键是注意对等腰三角形的边进行讨论,看是否满足三角形的三边关系,不满足的舍去,满足的根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】
解：若腰长为3时,
三边为3,3,,
此时,
故此情况不合题意,舍去；
若腰长为时,
三边为3,,,
此时,
这个三角形的周长为,
故选B．

下列说法中：三条线段组成的图形叫做三角形；三角形的角平分线是射线；三角形的三条高所在的直线相交于一点,这一点不在三角形的内部,就在三角形的外部；三角形的三条中线相交于一点,且这点一定在三角形的内部其中正确的有( )

A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个

【答案】D

【解析】【分析】
本题考查了三角形的定义,以及三角形的角平分线、高线、中线,是基础题,需熟记．
根据三角形的定义,三角形的角平分线、高线、中线对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】

解：应为三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形,故本说法错误；
三角形的角平分线是线段,故本说法错误；
三角形的三条高所在的直线相交于一点,这一点不在三角形的内部,就在三角形的外部,也有可能是直角三角形的直角顶点,故本说法错误；
三角形的三条中线相交于一点,且这点一定在三角形的内部,正确,
综上所述,正确的有共1个．
故选D．

如图,在不等边中,,垂足为M,,垂足为N,且,点Q在AC上,,下列结论：,,平分,平分,≌,其中正确的个数有( )

A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个

【答案】C

【解析】【分析】
本题考查了角平分线的性质,全等三角形的判定与性质,平行线的判定,等边对等角的性质,比较复杂,熟记性质并准确识图是解题的关键．
利用“HL”证明和全等,根据全等三角形对应边相等可得；全等三角形对应角相等可得,再根据等边对等角可得,从而得到,然后根据内错角相等,两直线平行可得；根据角平分线的性质判定定理判断AP平分,同时判断出PA平分,欲证和全等,须得,而此条件无法得到,所以,两三角形不一定全等．
【解答】
解：,,
$∴∠AMP=∠ANP=90^{\small \circ}$ ,
在和中,
,
≌,
,故正确；
,
,
,
,
,故正确；
,,,
平分,故正确；
,,,
平分,故正确；
假设≌,
则,
此条件无法从题目得到,
所以,假设不成立,故错误．
综上所述,正确的是．
故选C．

如图,正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b,正方形CEFG绕点C旋转,给出下列结论：；；,其中正确结论有( )

A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个

【答案】D

【解析】【分析】
此题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,正方形的性质,勾股定理,熟练掌握性质与定理是解本题的关键,由四边形ABCD与四边形CEFG都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到,利用全等三角形对应角相等得到,利用等角的余角相等及直角的定义得到为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可．
【解答】
解：如图,设BE,DG交于O．

四边形ABCD和CEFG都为正方形,
,, $∠BCD=∠ECG=90^{\small \circ}$ ,
$∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90^{\small \circ}+∠DCE$ ,即．
在和中,
,
≌,
,
,
$∵∠1+∠4=∠3+∠1=90^{\small \circ}$ ,
$∴∠2+∠3=90^{\small \circ}$ ,
$∴∠BOG=90^{\small \circ}$ ,
；故正确；
连接BD,EG,如图所示,
,,
则,故正确．
故选D．

三条直线,,相互交叉,交点分别为A,B,C,在平面内找一个点,使它到三条直线的距离相等,则这样的点共有( )

A. 一个B. 两个C. 三个D. 四个

【答案】D

【解析】【分析】
作直线、、所围成的三角形的外角平分线和内角平分线,外角平分线相交于点、、,内角平分线相交于点,然后根据角平分线的性质进行判断．
本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,熟记性质是解题的关键．
【解答】
解：作直线、、所围成的的外角平分线和内角平分线,
内角平分线相交于点,外角平分线相交于点、、,
根据角平分线的性质可得,这4个点到三条直线的距离分别相等．

故选：D．

如图,中, $∠A=60^{\small \circ}$ ,角平分线BD、CE相交于点I,下列结论： $①∠AEI+∠ADI=180^{\small \circ}$ ；；连接AI,则AI平分；；其中正确的个数是

A. 2B. 3C. 4D. 5

【答案】C

【解析】【分析】
本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质,根据题意作出辅助线,构造出全等三角形是解答此题的关键由三角形内角和定理和角平分线得出
【解答】
解： $①∵ ∠A=60^{\small \circ}$ ,
$∴ ∠ABC+∠ACB=180^{\small \circ}-60^{\small \circ}=120^{\small \circ}$ ,
角平分线BD,CExji相交于点I,
$∴ ∠iIBC+∠ICB= \dfrac{1}{2}\left(∠ABC+∠ACB\right)= \dfrac{1}{2}×120^{\small \circ}=60^{\small \circ}$ ,
在三角形ABC中, $∠BIC=180^{\small \circ}-60^{\small \circ}=120^{\small \circ}$ ,
$∴ ∠ADI+∠AEI=360^{\small \circ}-60^{\small \circ}-120^{\small \circ}=180^{\small \circ}$
故正确；
$② ∠BIE=∠CID=180^{\small \circ}-120^{\small \circ}=60^{\small \circ},$
在BC上截去,
在三角形BIE和三角形BGI中,
,
,
, $∠BIG=∠BIE=60^{\small \circ}$ ,
$∴ ∠CIG=∠CID=60^{\small \circ}$ ,
和中,
,
,
,,
,故正确；
角平分线BD,CE相交于点I,
连接AI,则AI平分,
故正确；
由题意,点I到AB、BC、AC距离相等,设为h,
面积和 $= \dfrac{1}{2}×BE·h+ \dfrac{1}{2}CD·h= \dfrac{1}{2}BI·h+ \dfrac{1}{2}BC·h= \dfrac{1}{2}BC{{$ 的面积,
故正确；
只有在时才成立．
綜上所述,正确的是共4个．
故选C．

如图,AD是的角平分线,, ,垂足分别是E,F,连接EF,EF与AD交于点下列结论

；
；
$③∠EAF+∠EDF= 180^{\small \circ}$ ；
垂直平分EF；
点G一定是的重心其中结论正确的个数是

A. B. 2C. D. 4

【答案】D

【解析】【分析】
本题考查的是角平分线的性质,全等三角形的判定与性质有关知识,根据角平分线的性质,全等三角形的判定与性质对所给的结论进行解答即可．
【解答】
解：是的角平分线,,,
,正确,
$∠AED=∠AFD=90^{\small \circ}$ ,
在和中
,
,
,故正确,
,
垂直平分EF,故正确,
,,
$∴∠AED=∠AFD=90^{\small \circ}$ ,
$∴∠AED+∠AFD=180^{\small \circ}$ ,
$∴∠EAF+∠EDF=180^{\small \circ}$ ,故正确,
同理可得点G不一定是的重心,故错误．
故选D．

如图,点A,B,C在一条直线上,,均为等边三角形,连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q,连接PQ,下面结论：
≌； $②∠DMA=60^{\small \circ}$ ；为等边三角形；．
其中结论正确的有( )

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

【答案】D

【解析】解：、为等边三角形,
, $∠ABD=∠CBE=60^{\small \circ}$ ,,
, $∠PBQ=60^{\small \circ}$ ,
在和中,
,
≌,
正确；
≌,
,
$∵∠BDC+∠BCD=180^{\small \circ}-60^{\small \circ}-60^{\small \circ}=60^{\small \circ}$ ,
$∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60^{\small \circ}$ ,
正确；
在和中,
$∵ \begin{cases} ∠BAP=∠BDQ \\ AB=DB \\ ∠ABP=∠DBQ=60 ^{\small \circ} \end{cases}$ ,
≌,
,
为等边三角形,
正确；
, $∠PBQ=60^{\small \circ}$ ,
是等边三角形,
$∴∠PQB=60^{\small \circ}$ ,
,
,
故正确．
故选D．
由等边三角形的性质得出, $∠ABD=∠CBE=60^{\small \circ}$ ,,得出,由SAS即可证出≌；
由≌,得出,根据三角形外角的性质得出 $∠DMA=60^{\small \circ}$ ；
由ASA证明≌,得出对应边相等,即可得出为等边三角形；
推出是等边三角形,得到 $∠PBQ=60^{\small \circ}$ ,根据平行线的性质即可得到,故正确．
此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质,平行线的判定和性质,此题图形比较复杂,解题的关键是仔细识图,找准全等的三角形．

如图,在平面直角坐标系xOy中,,,点D在x轴上,若在线段包括两个端点上找点P,使得点A,D,P构成等腰三角形的点P恰好只有1个下列选项中满足上述条件的点D坐标不可以是( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等也考查了坐标与图形性质先利用勾股定理计算出,然后利用等腰三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】
解：,,
,
当D点坐标为时,只能作以PD、PA为腰的等腰三角形；
当D点坐标为时,可作以PD、PA为腰的等腰三角形也可作AP、AD为腰的等腰三角形此时P点在B点；
当D点坐标为时,只能作以AP、AD为腰的等腰三角形；
当D点坐标为时,只能作以AP、AD为腰的等腰三角形此时P点在B点．
故选B．

如图,在平面直角坐标系中,已知正方形ABCO,,点D为x轴上一动点,以AD为边在AD的右侧作等腰, $∠ADE=90^{\small \circ}$ ,连接OE,则OE的最小值为( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】解：如图,作轴于H,连接CE．

$∵∠AOD=∠ADE=∠EHD=90^{\small \circ}$ ,
$∴∠ADO+∠EDH=90^{\small \circ}$ , $∠EDH+∠DEH=90^{\small \circ}$ ,
,
,
≌,
,,
,
$∴∠ECH=45^{\small \circ}$ ,
点E在直线上运动,作,则是等腰直角三角形,
,
,
的最小值为．
故选：A．
如图,作轴于H,连接利用全等三角形的性质证明 $∠ECH=45^{\small \circ}$ ,推出点E在直线上运动,作,求出的长即可解决问题；
本题考查旋转变换,正方形的性质,全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,垂线段最短,一次函数等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题,属于中考选择题中的压轴题．

中, $∠ACB=90^{\small \circ}$ ,,以C为中心将旋转角到旋转过程中保持的形状大小不变点恰落在上,如图,则旋转角的大小为( )

A. $α+10^{\small \circ}$ B. $α+20^{\small \circ}$ C. D.

【答案】D

【解析】【分析】
由旋转的性质可知,,,可知 $∠CBB _{1} =∠B _{1} =90^{\small \circ}-α$ ,在等腰中,根据三角形内角和定理可得 $2(90^{\small \circ}-α)+θ=180^{\small \circ}$ ,由此可得旋转角的大小．
本题主要考查了旋转的性质,等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的综合应用,解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角,旋转前、后的图形全等．
【解答】
解：由旋转得,, $∠ABC=∠B _{1} =90^{\small \circ}-α$ ,
等腰中, $∠CBB _{1} =∠B _{1} =90^{\small \circ}-α$ ,,
中, $∠CBB _{1} +∠B _{1} +∠BCB _{1} =180^{\small \circ}$ ,
$∴2(90^{\small \circ}-α)+θ=180^{\small \circ}$ ,
,
故选：D．

中,,,点P是BC边上的动点,过点P作于点D,于点E,则的长是( )

A. B. 或C. D. 5

【答案】A

【解析】解：过A点作于F,连结AP,
中,,,
,
中,,
,

．
故选：A．
过A点作于F,连结AP,根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长,由图形得,代入数值,解答出即可．
本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质,解答时注意,将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．

不论x、y为任何实数,代数式的值

A. 总不小于2B. 总不小于7C. 可为任何实数D. 可能为负数

【答案】A

【解析】【分析】
主要利用拆分重组的方法凑完全平方式,把未知数都凑成完全平方式,就能判断该代数式的值的范围要求掌握完全平方公式,并会熟练运用．
要把代数式进行拆分重组凑完全平方式,来判断其值的范围．
【解答】
解：,
,,
,
．
故选A．

若,,则的值是( )

A. 25B. 19C. 31D. 37

【答案】D

【解析】【分析】
先根据完全平方公式得到原式,然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了完全平方公式：也考查了整体思想的运用．
【解答】
解：原式,
,,
原式．
故选D．

杨辉三角形,又称贾宪三角形,帕斯卡三角形,是二项式系数在三角形中的一种几何排列在我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术年一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律．
观察下列各式及其展开式：

请你猜想展开式的第三项的系数是( )

A. 36B. 45C. 55D. 66

【答案】B

【解析】解：找规律发现的第三项系数为；
的第三项系数为；
的第三项系数为；
不难发现的第三项系数为,
展开式的第三项的系数是．
故选：B．
根据图形中的规律即可求出的展开式中第三项的系数．
此题考查了数字变化规律,通过观察、分析、归纳发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题的能力．

已知,则( )

A. 0B. 1C. 2D. 3

【答案】D

【解析】解：,
,
即,
．
故选D．
把已知条件两边平方,然后利用完全平方公式展开整理即可得解．
本题考查了完全平方公式,解题的关键在于乘积二倍项不含字母．

已知是一个完全平方式,则k的值是

A. B. 2C. D. 4

【答案】A

【解析】【解析】

本题考查了完全平方式,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式注意积的2倍的符号,避免漏解这里首项是x的平方,中间一项为4xy,最后一项应该是,故．

【解答】

是一个完全平方式,

故选A．

若多项式是一个完全平方式,则a 不可能是

A. 4xB. C. D. 2x

【答案】D

【解析】【分析】
本题考查了完全平方公式,根据平方项确定出这两个数是解题的关键,难点在于要分a是平方项与积的2倍项两种情况讨论根据完全平方公式讨论求解即可．
【解答】
解：是平方项,则是乘积的2倍项,
,
；
是乘积的2倍项,
,
；
综上所述,a可能是4x,,,
不可能是2x．
故选D．

把分解因式,标准答案是( )

A. B.
C. D.

【答案】D

【解析】【分析】
此题主要考查了分组分解法分解因式,熟练应用乘法公式分解因式是解题关键将前两项和后两项分别提取公因式,进而结合平方差公式分解因式得出答案．
【解答】

解：

．
故选D．

若能在整数范围内因式分解,则k可取的整数值有( )

A. 2个B. 3个C. 4个D. 6个

【答案】D

【解析】【分析】
本题利用了十字相乘法分解因式,对常数20的正确分解是解题的关键把分解成两个因数的积,m等于这两个因数的和．
【解答】
解：,
,,,,,,
故选D．

若可以分解为,那么的值为( )

A. B. 1C. D. 2

【答案】D

【解析】解：,
可以分解为,
,,
,,
,
故选D．
先根据多项式乘以多项式进行计算,得出方程,,求出即可．
本题考查了因式分解的定义的应用,关键是能根据已知得出关于a、b的方程组．

已知可以被在之间的两个整数整除,则这两个数是

A. 1、3B. 3、5C. 6、8D. 7、9

【答案】D

【解析】【分析】

此题考查了因式分解的应用,涉及的知识有：平方差公式分解因式,二次运用平方差公式是解题的难点将中第一项利用幂的乘方逆运算法则变形后,利用平方差公式分解因式,继续利用幂的乘方逆运算法则变形后,利用平方差公式分解因式,根据可以被0到10之间的某两个整数整除,即可得到两因式分别为7和

【解答】

解：

则所求的两个数分别为7,9．
故选D．

已知a、b、c为的三边,且满足,则是( )

A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形

【答案】C

【解析】【分析】
本题考查了因式分解的应用,提取公因式并利用平方差公式分解因式得到a、b、c的关系式是解题的关键．
移项并分解因式,然后解方程求出a、b、c的关系,再确定出的形状即可得解．
【解答】
解：移项得,,
,
,
所以,或,
即或,
因此,等腰三角形或直角三角形．
故选C．

二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）

,则 ______ ．

【答案】

【解析】解：已知等式整理得：,即,
开方得：,
故答案为：
原式利用平方差公式化简,整理即可求出的值．
此题考查了平方差公式,熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

观察：,,,据此规律,当时,代数式的值为______ ．

【答案】0或

【解析】【分析】
此题考查了多项式乘多项式,熟练掌握运算法则是解本题的关键；由已知等式为0确定出x的值,代入原式计算即可得到结果．
【解答】
解：,且,
,
解得：或,
则原式或．
故答案为0或．

若,则______．

【答案】8

【解析】解：已知等式整理得：,
可得,
解得：,
则．
故答案为：8．
已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算,利用多项式相等的条件求出m与n的值,即可确定出所求式子的值．
此题考查了多项式乘多项式,熟练掌握运算法则是解本题的关键．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

如图,在等腰中,,D为BC的中点,,垂足为E,过点B作交DE的延长线于点F,连接CF．

求证：；
连接AF,试判断的形状,并说明理由。

【答案】证明：在等腰直角三角形ABC中,
$∵∠ACB=90^{\small \circ}$ ,
$∴∠CBA=∠CAB=45^{\small \circ}$ ．
又,
$∴∠DEB=90^{\small \circ}$ ．
$∴∠BDE=45^{\small \circ}$ ．
又,
$∴∠CBF=90^{\small \circ}$ ．
$∴∠BFD=45^{\small \circ}=∠BDE$ ．
．
又为BC的中点,
．
即．
在和中,
$\begin{cases} BF=CD \\ ∠CBF=∠ACD=90 ^{\small \circ} \\ CB=AC\end{cases}$ ,
≌．
．
又 $∵∠BCF+∠GCA=90^{\small \circ}$ ,
$∴∠CAD+∠GCA=90^{\small \circ}$ ．
即．

是等腰三角形,理由为：
连接AF,如图所示,
由知：≌,,
是等腰直角三角形,且BE是的平分线,
垂直平分DF,
,
,
,
是等腰三角形．

【解析】欲求证,先证明 $∠CAG+∠ACG=90^{\small \circ}$ ,需证明,利用三角形全等,易证．
要判断的形状,看其边有无关系根据的推导,易证,从而判断其形状．
此题难度中等,考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形性质和判定．

如图：在中, $∠ACB=90^{\small \circ}$ ,,过点C在外作直线MN,于M,于N．

求证：．
如图,若过点C在内作直线MN,于M,于N,则图中的结论是否仍然成立？请说明理由．

【答案】证明：,,
$∴∠AMC=∠CNB=90^{\small \circ}$ ,
$∵∠ACB=90^{\small \circ}$ ,
$∴∠MAC+∠ACM=90^{\small \circ}$ , $∠NCB+∠ACM=90^{\small \circ}$ ,
,
在和中,,
≌,
,,
,
；
解：图中的结论不成立,理由如下：
,,
$∴∠AMC=∠CNB=90^{\small \circ}$ ,
$∵∠ACB=90^{\small \circ}$ ,
$∴∠MAC+∠ACM=90^{\small \circ}$ , $∠NCB+∠ACM=90^{\small \circ}$ ,
,
在和中,,
≌,
,,
,
．

【解析】利用互余关系证明,又 $∠AMC=∠CNB=90^{\small \circ}$ ,,故可证≌,从而有,,即可得出结论；
类似于的方法,证明≌,从而有,,可推出AM、BN与MN之间的数量关系．
本题考查了全等三角形的判定与性质关键是利用互余关系推出对应角相等,证明三角形全等．

如图1,是等腰三角形,, $∠BAE=45^{\small \circ}$ ,过点B作于点C,在BC上截取,连接AD、DE并延长AD交BE于点P；
求证：；
试说明AD平分；
如图2,将绕着点C旋转一定的角度,那么AD与BE的位置关系是否发生变化,说明理由．

【答案】解：, $∠BAE=45^{\small \circ}$ ,
,
,
在和中,
$\begin{cases} BC=AC \\ ∠BCE=∠ACD=90 ^{\small \circ} \\ CE=CD\end{cases}$ ,
≌,
．
≌,
,
,
$∴∠BPD=∠DCA=90^{\small \circ}$ ,
,
平分．
不发生变化．
如图2,

≌,
,
,
$∴∠BPF=∠ACF=90^{\small \circ}$ ,
．

【解析】利用SAS证明≌,根据全等三角形的对应边相等得到．
根据≌,得到,由,得到 $∠BPD=∠DCA=90^{\small \circ}$ ,利用等腰三角形的三线合一,即可得到AD平分；
不发生变化由≌,得到,由对顶角相等得到,根据三角形内角和为 $180^{\small \circ}$ ,所以 $∠BPF=∠ACF=90^{\small \circ}$ ,即．
本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理,解决本题的关键是证明≌．

已知：如图,的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D,,,垂足分别为E,F．
求证：；
若,,求的周长．

【答案】证明：连结CD,

在BC的中垂线上

,
AD平分

$∠BED=∠DCF=90^{\small \circ}$
在和中,
,
≌,
；
解：由可得,≌,
,
的周长,

．

【解析】连接CD,根据垂直平分线性质可得,可证≌,可得；
根据≌得出解答即可．
本题考查了直角三角形全等的判定,考查了垂直平分线的性质,考查了角平分线的性质,本题中求证≌是解题的关键．

如图,P是正三角形ABC内的一点,且,,,将绕点B逆时针旋转一定角度后,可得到．
求点P与点Q之间的距离；
求的度数．

【答案】解：连接PQ,

由旋转性质有：
,,,,

即,
是正三角形,
$∴∠ABC=60^{\small \circ}$ ,
$∴∠QBP=60^{\small \circ}$ ,
是正三角形,
．

在中,,,
,
$∴∠PQC=90^{\small \circ}$ ,
$∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60^{\small \circ}+90^{\small \circ}=150^{\small \circ}$ ．

【解析】由旋转的性质可以证明是等边三角形,即可解决问题．
利用勾股定理的逆定理证明 $∠PQC=90^{\small \circ}$ ,由,即可解决问题．
本题考查旋转变换、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型．

如图,在中,已知,AB的垂直平分线交AB于点N,交AC于点M,连接MB．
若 $∠ABC=70^{\small \circ}$ ,则的度数是______度
若,的周长是14cm．
求BC的长度；
若点P为直线MN上一点,请你直接写出周长的最小值．

【答案】

【解析】解：,
$∴∠C=∠ABC=70^{\small \circ}$ ,
$∴∠A=40^{\small \circ}$ ,
的垂直平分线交AB于点N,
$∴∠ANM=90^{\small \circ}$ ,
$∴∠NMA=50^{\small \circ}$ ,
故答案为：50；
是AB的垂直平分线,
,
的周长,
,的周长是14,
；
当点P与M重合时,周长的值最小,
理由：,,
与M重合时,,此时最小,
周长的最小值．
【分析】
根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论；
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得,然后求出的周长,再代入数据进行计算即可得解,当点P与M重合时,周长的值最小,于是得到结论．
本题主要考查了轴对称的性质,等腰三角形的性质,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,熟记性质是解题的关键．